A VIENA (parte 1)

¡Hola!

Quiero empezar hablando del círculo de Viena que tuvo lugar allí del 1921 al 1936. Este era un organismo científico y filosófico que se ocupaba de distinguir entre lo que era ciencia y lo que no. Además, elaboraba un lenguaje común a todas estas. Influyó en la filosofía analítica y en la filosofía de la ciencia. 

Dicha introducción es realizada con el fin de destacar a un matemático que formó parte: Friedrich Waisman. Este cursó estudios de matemáticas y física en la universidad de Viena. Él destaca por su exposición en La formación de los Conceptos en las Matemáticas Modernas al decir que las “verdades matemáticas son verdaderas más por convención que por ser necesariamente verdaderas”.

Otro matemático importante aunque muy desconocido es Kurt Gödel que aunque nació en Brün (República Checa), estudió en la Universidad de Viena. Se dedicó a relacionar la lógica con los fundamentos de las matemáticas. Es conocido por sus dos teoremas de la incompletitud. El primero dice que ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad es a la vez consistente y completa. Esto se puede deducir a partir de un algoritmo. Y, el segundo es un caso particular del primero. Además, Gödel fue un gran amigo de Einstein.

Kurt Gödel
Imagen de https://en.wikipedia.org

En 1987, se fundó en Viena la Sociedad Kurt Gödel (The Kurt Gödel Society). Esta es una organización para promocionar la lógica, la filosofía y la historia de las matemáticas en relación con la biografía de Kurt Gödel. Está situada en el centro de la ciudad en la Favoritenstr. 9-11. Desarrollan muchas actividades como conferencias, campamentos para universitarios en otros países… Esta es la dirección web de la página https://kgs.logic.at

Imagen de https://kgs.logic.at

¡El próximo sábado volvemos a Viena!

DETALLE MÁGICO DE LA SAGRADA FAMILIA DE BARCELONA

La Sagrada Familia de Gaudí es conocida mundialmente por su arquitectura. Pero, hoy nos vamos a fijar en un elemento que no debe pasar desapercibido, su cuadro mágico.

En la llamada Fachada de la Pasión, junto a las esculturas del beso de Judás, podemos apreciar un cuadrado realizado por Josep María Subirach en 1987. Este cuadrado (4x4) no es uno cualquiera, es uno mágico. Decimos que es mágico porque la suma de los números de las cuatro filas, las cuatro columnas, las dos diagonales, los números centrales, los vértices y algunas casillas más, es siempre la misma.

Imagen propia.

Un poco de historia sobre los cuadrados…

Estos cuadrados ya eran conocidos en China en el siglo III A.C También, han sido famosos para los árabes, indios, egipcios y griegos quienes han grabado algunos de estos en talismanes. Sin embargo, su introducción como tal en occidente fue gracias a Manuel Moschopoulos quien explicó ciertos métodos para construirlos; pero sus escritos no fueron reconocidos hasta dos siglos después de su muerte. Fue Philippe de la Hire quien los encontró y los tradujo en el siglo XVII. Posteriormente, casi todos los matemáticos prestigiosos no han podido dejar de estudiar estos cuadrados, entre los que destacan Leonhard Euler, Gottfried Leibniz o Blaise Pascal.

El primer cuadrado mágico europeo es de Alberto Durero y está en su  obra Melancolía I (grabado que se encuentra en la Staatsgalerie en Stuttgart, en Alemania, cuya pagina web es https://www.staatsgalerie.de/en.html). La suma de sus números, según los criterios dichos anteriormente, es 34.

Melancolía I
Imagen de http://arte.laguia2000.com

Detalle de grabado Melancolía I, cuadrado mágico.
http://matematicasmundo.ftp.catedu.es

Volviendo a nuestro cuadrado, el número mágico es 33 porque se cree que a esta edad murió Jesús crucificado. Aunque otra versión, menos creíble, afirma ser 33, porque es el número de grados de la Masonería, ya que puede que Gaudí formara parte, aunque nunca se ha asegurado. Este cuadrado es parecido al de Durero; pero, alteró cuatro números, uno de cada fila y columna , disminuyéndolos una unidad, para que quedara de suma 33. Además, una vez hecho esto, lo sometió a dos simetrías una horizontal y otra vertical. 

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

-Cuadrado mágico de Durero, en azul los números a los que se harán los cambios.

15	3	2	13
5	10	10	8
9	6	7	11
4	14	14	1

-Números en azul ya cambiados por el artista.

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

-Simetría ya realizada y diseño final del cuadro de la Sagrada Familia.

Por otra parte, solo podemos afirmar que el cuadrado es “casi mágico” porque no debe haber números repetidos; y aquí, si los hay: el 10 y el 14. Y los números deben formar una serie consecutiva, aquí faltan el 12 y el 16.

Espero que os fijéis en vuestra visita.

NOS INCLINAMOS

¿Quién no ha oído hablar de la inclinada torre de Pisa? Pues en esta ciudad, Pisa, aparte de esta torre de 55,8 metros y 14.700 toneladas de peso, hay mucho más por ver. Empecemos a descubrirla.

La torre de Pisa, situada en la plaza de los Milagros, es el campanario de la catedral de esta ciudad. Está inclinada un ángulo de 5º y su estilo arquitectónico es el Románico. Tiene 7 campanas cada una de las cuales corresponde a una nota musical.

 

Plaza de los Milagros de Pisa.
Imagen propia.

Breve Historia de la torre

Se empieza a construir en el año 1173 por el arquitecto Bonanno Pisano. Cinco años más tarde, cuando ya van por el tercer piso, descubren que la torre se encuentra inclinada algunos milímetros hacia el sur. Esto se debía a que la ciudad y toda la región de la Toscana, donde se encuentra, tienen un subsuelo pantanoso, lo que hace que los cimientos tengan que ser más fuertes. Pero, nuestra torre solo tiene 3 metros de cimientos y debido al peso, se hunde.

La continuación de la construcción vino más tarde, casi un siglo después, por el arquitecto Giovanni da Simone quien decidió inclinar la torre hacia el norte alargando las columnas del lado sur. Sin embargo, la torre se seguía inclinando y pararon las obras hasta 1372 cuando construyeron el campanario. Pero, esta continuaba con su movimiento; por lo que en 1990 enterraron enormes bloques de plomo en el suelo del  lado norte, rodearon el tercer piso con un cinturón metálico, y entre ambos tendieron 18 cables de acero. Así pues, desde 1995 ha dejado de inclinarse.

Cabe destacar la respuesta a la pregunta ¿por qué no se cae? Esto se debe a una ley de la estática que dice que hay equilibrio cuando la vertical que pasa por el centro de gravedad del cuerpo cae dentro del polígono de apoyo o de base.

La inclinada torre de Pisa.
Imagen propia

Por otra parte, Pisa es la cuna de tres grandes científicos, dos de ellos matemáticos.

En primer lugar, tenemos a Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci que fue la persona que difundió la utilidad del sistema de numeración indo-arábigo (frente a la romana que había antes) en Europa. Además es el creador del libro Liber abaci (El libro del cálculo o El libro del ábaco) donde además de establecer lo anterior, trata la sucesión de Fibonacci, también llamada secuencia áurea. Esta es la sucesión infinita de números reales, que empieza así : 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…  Cada término es la suma de los dos anteriores. La regla es x_n = x_n-1 + x_n-2 .Tiene numerosas aplicaciones tanto en computación como en la biología.

Leonardo de Pisa.
Imagen de http://www.biografiasyvidas.com

Después, está Galileo Galilei, quien descubrió el telescopio y observó el firmamento con él. Hizo aportaciones sobre la teoría heliocéntrica y fue juzgado por la Inquisición. Galileo estudió medicina, filosofía y matemáticas en la universidad de Pisa. Sin embargo, la ciencia que más le interesaba eran las matemáticas, y sobresalió en astronomía.

Galileo Galilei.
Imagen de http://www.biografiasyvidas.com

Es importante destacar también a Antonio Pacinotti (1841-1912) que fue un físico y astrónomo, inventor de la dinamo. Además fue profesor de algunas universidades, como la de Pisa.

Antonio Pacinotti.
Imagen de https://it.wikipedia.org

Vayámonos a los museos matemáticos y científicos de Pisa

Tenemos el Museo degli Strumenti per il Calcolo (Museo de las herramientas del cálculo) de la fundación Galileo Galilei. En este se hace un recorrido de la historia del cálculo pasando desde ábacos hasta calculadoras. Además se encuentra la primera calculadora fabricada en Italia que data del 1961, la llamada calculadora Electrónica Pisana. Podemos observar una gran variedad de invenciones del científico Pacinotti. Pero no se queda todo en meras exposiciones, sino que también hay ferias, congresos y talleres educativos para colegios. Se encuentra situado a 20 minutos de la torre inclinada y abre de lunes a viernes. Para más información, podéis visitar aquí su página web http://www.fondazionegalileogalilei.it/ , que aunque está en italiano, se puede traducir.

Museo degli Strumenti per il Calcolo.
Imagen de http://www.pisatoday.it

Finalmente es importante decir que cuando pensemos en edificios inclinados no debemos pensar solamente en Pisa, sino también en las Torres Puerta de Europa (las torres Kio) de Madrid, con una inclinación de 15º. O también en  el Capital Gate de Abu Dhabi, que tiene una inclinación de 18º oeste.

Capital Gate de Abu Dhabi.
Imagen de http://arquitecturadecalle.com.ar

¡Pisa merece la pena!

ESCHER

¿Os acordáis de nuestra visita a la Alhambra y del artista que la visitó inspirándose en ella? Si la respuesta es negativa, os doy la solución. El artista fue Maurits Cornelis Escher, que visitó los palacios en 1922 y en 1936.

Pero, ¿a qué viene esto? Esto viene a que desde el 2 de febrero de 2017 y hasta el 25 de junio de 2017, se está desarrollando una exposición sobre el autor en el palacio de Gaviria, situado en la calle Arenal nº 9, en Madrid.

Imagen propia

Este palacio es uno de los tesoros arquitectónicos de Madrid que ha estado cerrado durante años pero que ahora se vuelve a abrir al público para dar paso a esta exposición de gran importancia.

Palacio de Gaviria
Imagen propia

M.C. Escher nació en 1898 en los Países Bajos. Él estaba poco interesado en el colegio y en los estudios, pero, al matricularse en 1919 en la Escuela de Artes Decorativas y Arquitectura de Haarlem, encuentra su pasión. Esta persona es un símbolo de la interrelación entre el arte y la ciencia. Su conocimiento de las matemáticas es visual e intuitivo y juega con la arquitectura, la perspectiva y con la representación del infinito. Sus obras, que son grabados,  están repletas de detalles y precisión. Analicemos sus etapas.

Escher
 Imagen de https://es.m.wikipedia.org

Su primer periodo está inspirado en el art nouveau. Sus obras proceden de la observación meticulosa de la naturaleza y de su pasión por la regularidad geométrica. Un ejemplo es la xilografía (grabado en plancha de madera) Algarrobo del año 1932.

Algarrobo (1932)
Xilografía, 31,9x23,9 cm
Colección particular, Italia
All M.C. Escher works © 2017 The M.C. Escher
Company. All rights reserved
http://www.mcescher.com/gallery/

Durante este primer periodo, también utilizó en su cuadro Hermoso la ley de la Buena Forma; esto es que ante varios elementos que dividen un plano regular, nuestro cerebro busca la forma más simple, la “buena forma”.

Su segundo periodo viene desarrollado después de su visita en 1936 a la Alhambra y Córdoba, donde estudió las teselaciones, simetrías y las añadió a sus grabados. Por ello en estos nos podemos encontrar reflexiones, isomerías… Un ejemplo es la xilografía División regular del plano II.

División regular del plano II (1957)

Xilografía en rojo, 24x18 cm
The Escher Foundation Collection
All M.C. Escher works © 2017 The M.C. Escher
Company. All rights reserved
http://www.mcescher.com/gallery/

Siguiendo esta trayectoria, llegamos a su tercer periodo. En 1950 pinta Autorretrato en un espejo esférico en el cual se representa el reflejo en una bola a él mismo y a toda una habitación, viendo así los 360º. Para todo ello, previamente Escher estudió las leyes de organización molecular del espacio.

Autorretrato en un espejo esférico (1950)
Xilografía, 8,2x8,2 cm
Colección particular, Italia
All M.C. Escher works © 2017 The M.C. Escher
Company. All rights reserved
http://www.mcescher.com/gallery/

La obra de Escher fue evolucionando hasta llegar a puntos más matemáticos con paradojas geométricas.

Así pues, tenemos su serie de cuadros en los que se representa la cinta de Möbius o Moebius. Esta es una cinta cuyos extremos se han unido girándolos; tiene una sola cara y un solo borde y posee la llamada propiedad matemática de ser no orientable. Fue descubierta por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Tiene numerosas aplicaciones como por ejemplo las cintas transportadoras que ruedan por cilindros. Un ejemplo de Escher es las hormigas que van por la cinta, titulado Cinta de möbius II.

Cinta de Möbius II
Imagen de http://www.sauval.com

Por otra parte utiliza la ley de lo cóncavo y lo convexo. Con este pretende que si la luz llega de la parte superior, y la sombra está en la parte inferior, es convexo; mientras que si la sombra está en la parte superior, parece cóncavo. Un ejemplo es el cuadro Convexo y cóncavo.

Cóncavo y convexo (1955)
1955 Lithograph. 335mm x 275mm.
All M.C. Escher works © 2017 The M.C. Escher
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http://www.mcescher.com/gallery/

También está presente el cubo de Necker en el grabado Belvedere. El cubo de Necker es una ilusión óptica que hace que un cubo esté unido de manera que sería imposible que se formase. Además, en este cuadro, los arcos están unidos de manera cruzada, creando así una figura geométrica imposible.

Belvedere(19589)
 Litografía. 295mm x 462mm.All M.C. Escher works © 2017 The M.C. Escher
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http://www.mcescher.com/gallery/

Finalmente, un cuadro muy importante y con papel fundamental en las matemáticas es galería de  grabados. Primero utiliza el efecto Droste (que consiste en incluir una imagen dentro de otra, llegando hasta el infinito. Esto se hace de manera exponencial). Y, también, utiliza la transformación conforme. En este, la firma del autor está en el centro en un círculo en blanco porque Escher no sabía cómo debería acabarlo según esta transformación. La respuesta a qué tendría que ir en medio no se supo hasta 2003 cuando los profesores de la universidad de Leiden estudiaron la teoría de explicar la visión del mundo.

Galería de Grabados(1956)
Lithograph. 317mm x 319mm.
All M.C. Escher works © 2017 The M.C. Escher
Company. All rights reserved

http://www.mcescher.com/gallery/

La exposición además tiene espacios interactivos y una última parte donde se puede ver el legado que ha dejado Escher.

Aquí está el enlace por si queréis más información de la obra de Escher http://www.mcescher.com .Y este es el enlace de la exposición en Madrid http://eschermadrid.com

¡Todavía hay tiempo para visitar la exposición! No te defraudará.

OPORTO

Esta semana nos vamos a Oporto donde hay algunos lugares que quizá ni os imagináis que existen y aunque no lo parezca están muy relacionados con las matemáticas. Empezamos el viaje.

Foto propia

¿Cuál es vuestra librería favorita? Aunque la pregunta sea un poco compleja, yo tengo una respuesta muy clara, la Librería Lello e Irmao de Oporto, también conocida como Livraria Chardron. Está situada en el centro histórico (Rua das Carmelitas 144). Fue fundada en 1819 y cambió de nombre y de sitio varias veces. El actual edificio fue construido por el arquitecto Francisco Xavier Esteves en 1906. Para algunas personas, entre las que me incluyo, es la librería más bonita del mundo. Las escaleras de esta se cree que fueron una inspiración a la que aparece en Hogwarts, en los libros de Harry Potter ya que su autora, J.K. Rowling, vivió en Oporto. La fachada presenta figuras geométricas, así como todo su interior. Además, es una fuente de cultura porque se pueden comprar libros en una gran variedad de idiomas y de numerosas temáticas. Está siempre repleta de turistas curiosos.

Foto propia

Foto propia

Y, ahora necesitamos ver un museo. Por ello nos vamos al museo Atractor, situado en la Asociación Atractor, en la Rua de Ceuta nº 118, 5º, Sala 39. Es un pequeño y no muy conocido museo pero que el próximo 29 de marzo se llevará a cabo una exposición temporal denominada Simetría y juegos de espejos. Estará presente hasta el 12 de abril. Toda la información está en su página web: http://www.atractor.pt/ y la actualidad se puede conocer en su twitter  @AtractorMI

También allí, es importante el Centro de Matemáticas de la Universidad de Oporto que además, el pasado 17 de febrero celebró sus 75 años. Se realizan numerosas actividades y sobre todo cursos. Y, preparan encuentros de matemáticas relacionados con otras ciencias, como por ejemplo biología. Durante los mismos debaten y tratan temas diversos. El próximo tendrá lugar del 21 al 22 de junio de 2017. Aunque la página está en portugués, aquí dejo el enlace  http://cmup.fc.up.pt/main/

Imagen de:
http://cmup.fc.up.pt/main/

Finalmente, cabe destacar a un portuense matemático, Ruy Luís Gomes que contribuyó ampliamente al desarrollo y publicidad de esta ciencia en su ciudad. Este nació y murió en el mismo lugar (1905-1984).  Fue un profesor de la universidad de Coimbra, director de la Oficina de Astronomía y co-fundador del Observatorio Astronómico de la Universidad de Oporto. También fue co-fundador de la Sociedad de Matemáticos Portugueses en 1940. En 1941, presentó al Instituto de Alta Cultura una propuesta para el Centro de Estudios Matemáticos Puerto (ahora el Centro de Matemáticas de la Universidad de Oporto, el mencionado anteriormente). Esta fue fundada en 1942 y Ruy Luís Gomes fue su director hasta 1947. También creó el Consejo de Investigación en Matemáticas en 1943.

Imagen de:
http://centenario.up.pt/ver_figura12f1.html?id_figura=13

Espero que os haya gustado y os animéis a ir.